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    無(wú)窮等比數(shù)列求和公式

    更新:2023-09-14 02:20:46 高考升學(xué)網(wǎng)

    數(shù)列,a,aq,aq^2……aq^n。我們把|q|<1無(wú)窮等比數(shù)列稱為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列,它的前n項(xiàng)和的極限才存在。S是表示無(wú)窮等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和,這種無(wú)限個(gè)項(xiàng)的和與有限個(gè)項(xiàng)的和從意義上來(lái)說(shuō)是不一樣的,S是前n項(xiàng)和Sn當(dāng)n→∞的極限,即S=a/(1-q)。

    公式推導(dǎo)過(guò)程

    設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1,公比是q,數(shù)列前n項(xiàng)和是Sn,當(dāng)公比不為1時(shí)

    Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)

    將這個(gè)式子兩邊同時(shí)乘以公比q,得

    qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n

    兩式相減,得

    (1-q)Sn=a1-a1q^n

    所以,當(dāng)公比不為1時(shí),等比數(shù)列的求和公式為Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

    對(duì)于一個(gè)無(wú)窮遞降數(shù)列,數(shù)列的公比小于1,當(dāng)上式得n趨向于正無(wú)窮大時(shí),分子括號(hào)中的值趨于1,取極限即得無(wú)窮遞減數(shù)列求和公式

    S=a1/(1-q)

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