數(shù)列錯(cuò)位相減法

形如An=BnCn，其中{Bn}為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為bn=b1+(n-1)d；{Cn}為等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為cn=c1q^(n-1)；對(duì)數(shù)列An進(jìn)行求和，首先列出Sn，記為式（1）；再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比q，即q?Sn，記為式（2）；然后錯(cuò)開一位，將式（1）與式（2）作差，對(duì)從而簡(jiǎn)化對(duì)數(shù)列An的求和。這種數(shù)列求和方法叫做錯(cuò)位相減法。

經(jīng)典例題

已知數(shù)列{an}中，a1=3，點(diǎn)(an，an+1)在直線y=x+2上。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=an`3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

解：

(1)∵點(diǎn)（an,an+1)在直線y=x+2上

∴an+1=an+2,即an+1-an=2

∴數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列

∴an=3+2(n-1)=2n+1

(2)∵bn=an?3n

∴bn=(2n+1)?3n

∴Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)?3n-1+(2n+1)?3n①

3Tn=3×32+5×33+…+(2n-1)?3n+(2n+1)?3n+1②

由①-②得

-2Tn=3×3+2(32+33+…+3n)-(2n+1)?3n+1

=9+2×9(1-3n-1)/(1-3)-(2n+1)?3n+1

=-2n?3n+1

∴Tn=n?3n+1