n次根號(hào)下n的極限

lim(n→+∞)n^(1/n)=1。n的階乘的開n次方極限為無(wú)窮大，具體可以以n的階乘的開n次方為分母，讓分子為零，整體擴(kuò)大n次得n的階乘分之一，及解得極限為無(wú)窮大。

n次根號(hào)n的極限怎么求？

以下n^(1/n)表示n的1/n次方,即n的n次算術(shù)根。

解:當(dāng)n>1時(shí),顯然

n^(1/n)-1>0.

令n^(1/n)-1=t,則t>0,由二項(xiàng)式定理得

n=(1+t)^n

=C(n,0)t^0+C(n,1)t^1+C(n,2)t^2+......+C(n,n)t^n

>C(n,2)t^2

=n(n-1)t^2/2.

因此

2>(n-1)t^2

從而

t0,

n^(1/n)-1<√2/√(n-1),

lim(n→+∞)√2/√(n-1)=0,

由數(shù)列極限的迫斂性得

lim(n→+∞)(n^(1/n)-1)=0

即

lim(n→+∞)n^(1/n)=1。