定積分的中值定理

積分中值定理分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個公式。其中，積分第二中值定理還包含三個常用的推論。積分中值定理揭示了一種將積分化為函數值，或者是將復雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法，是數學分析的基本定理和重要手段，在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面應用廣泛。

定理的應用

積分中值定理在應用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉，或者使復雜的被積函數化為相對簡單的被積函數，從而使問題簡化。因此，對于證明有關題設中含有某個函數積分的等式或不等式，或者要證的結論中含有定積分，或者所求的極限式中含有定積分時，一般應考慮使用積分中值定理，去掉積分號，或者化簡被積函數。

求極限

在函數極限的計算中,如果含有定積分式,常常可以運用定積分的相關知識,比如積分中值定理等,把積分號去掉。

不等式證明

積分不等式是指不等式中含有兩個以上積分的不等式,當積分區間相同時,先合并同一積分區間上的不同積分,根據被積函數所滿足的條件,靈靈活運用積分中值定理,以達到證明不等式成立的目的。

在證明定積分不等式時,常常考慮運用積分中值定理,以便去掉積分符號,如果被積函數是兩個函數之積時,可考慮用積分第一或者第二中值定理。對于某些不等式的證明,運用原積分中值定理只能得到“≥”的結論,或者不等式根本不能得到證明。而運用改進了的積分中值定理之后,則可以得到“>”的結論,或者成功的解決問題。