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    狄利克雷函數為什么是周期函數

    更新:2023-09-20 02:18:44 高考升學網

    狄利克雷函數是周期函數證明:取T為任意一個確定的有理數,則當x是有理數時f(x)=1,且x+T是有理數,故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);當x是無理數時,f(x)=0,且x+T是無理數,故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。綜上,狄利克雷函數是周期函數。

    證明過程

    狄利克雷函數即f(x)=1(當x為有理數);f(x)=0(當x為無理數);而周期函數的定義是對任意x,若f(x)=f(x+T),則f(x)是周期為T的周期函數。

    顯然,取T為任意一個確定的有理數,則當x是有理數時f(x)=1,且x+T是有理數,故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);當x是無理數時,f(x)=0,且x+T是無理數,故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。綜上,狄利克雷函數是周期函數,其周期可以是任意個有理數,所以沒有最小正周期。

    狄利克雷函數

    狄利克雷函數是一個定義在實數范圍上、值域不連續的函數。狄利克雷函數的圖像以Y軸為對稱軸,是一個偶函數,它處處不連續,處處極限不存在,不可黎曼積分。這是一個處處不連續的可測函數。

    周期函數

    對于函數y=f(x),如果存在一個不為零的常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函數y=f(x)叫做周期函數,不為零的常數T叫做這個函數的周期。事實上,任何一個常數kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函數f(x)的周期T是與x無關的非零常數,且周期函數不一定有最小正周期。

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