2015年高考全國卷2理科數學試題及答案解析（word精校版）

注意事項：

1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必先將自己的姓名、準考證號碼填寫在答題卡上。

2．回答第I卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3．回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,則A∩B=（ ）

（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝

【答案】A

【解析】由已知得

，故

，故選A

（2）若a為實數且（2+ai）（a-2i）=-4i,則a=（ ）

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2

【答案】B

（3）根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖。以下結論不正確的是( )

（A） 逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

（B） 2007年我國治理二氧化硫排放顯現

（C） 2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

（D） 2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關

【答案】D

【解析】由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年份負相關．

（4）等比數列｛an｝滿足a1=3，

=21，則

( )

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84

【答案】B

（5）設函數

,

( )

（A）3 （B）6 （C）9 （D）12

【答案】C

【解析】由已知得

，又

，所以

，故

．

（6）一個正方體被一個面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】D

【解析】由三視圖得，在正方體

中，截去四面體

，如圖所示，，設正方體棱長為

，則

，故剩余幾何體體積為

，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為

．

（7）過三點A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圓交于y軸于M、N兩點，則

=

（A）2

（B）8 （C）4

（D）10

【答案】C

（8）右邊程序抗土的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”。執行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18，則輸出的a=

A.0 B.2 C.4 D.14

【答案】B

【解析】程序在執行過程中，

，

的值依次為

，

；

；

；

；

；

，此時

程序結束，輸出

的值為2，故選B．

（9）已知A,B是球O的球面上兩點，∠AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為

A．36π B.64π C.144π D.256π

【答案】C

【解析】如圖所示，當點C位于垂直于面

的直徑端點時，三棱錐

的體積最大，設球

的半徑為

，此時

，故

，則球

的表面積為

，故選C．

10.如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x．將動點P到A、B兩點距離之和表示為x的函數f（x），則f（x）的圖像大致為

【答案】B

的運動過程可以看出，軌跡關于直線

對稱，且

，且軌跡非線型，故選B．

（11）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為

（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2

【答案】D

（12）設函數f’(x)是奇函數

的導函數，f（-1）=0，當

時，

，則使得

成立的x的取值范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】A

【解析】

記函數

，則

，因為當

時，

，故當

時，

，所以

在

單調遞減；又因為函數

是奇函數，故函數

是偶函數，所以

在

單調遞減，且

．當

時，

，則

；當

時，

，則

，綜上所述，使得

成立的

的取值范圍是

，故選A．

二、填空題

（13）設向量

，

不行，向量

與

行，則實數

_________．

【答案】

【解析】因為向量

與

行，所以

，則

所以

．

（14）若x，y滿足約束條件

，則

的最大值為____________．

【答案】

（15）

的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32，則

__________．

【答案】

【解析】由已知得

，故

的展開式中x的奇數次冪項分別為

，

，

，

，

，其系數之和為

，解得

．

（16）設

是數列

的前n項和，且

，

，則

________．

【答案】

【解析】由已知得

，兩邊同時除以

，得

，故數列

是以

為首項，

為公差

的等差數列，則

，所以

．

三．解答題

（17）?ABC中，D是BC上的點，AD分∠BAC，?ABD是?ADC面積的2倍。

(Ⅰ)求

;

(Ⅱ) 若

=1，

=

求

和

的長.

(18)某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：

A地區：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地區：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根據兩組數據完成兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區滿意度評分的均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結論即可）；

（Ⅱ）根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：

滿意度評分	低于70分	70分到89分	不低于90分
滿意度等級	不滿意	滿意	非常滿意

記時間C：“A地區用戶的滿意度等級高于B地區用戶的滿意度等級”。假設兩地區用戶的評價結果相互獨立。根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，求C的概率

19．（本小題滿分12分）

如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，過點E，F的面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。

（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（2）求直線AF與面α所成的角的正弦值。

20．（本小題滿分12分）

已知橢圓C：

，直線l不過原點O且不行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M。

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

（2）若l過點

，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由。

21．（本小題滿分12分）

設函數

。

（1）證明：

在

單調遞減，在

單調遞增；

（2）若對于任意

，都有

，求m的取值范圍。

請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時請寫清題號

22．（本小題滿分10分）

選修4 - 1：幾何證明選講

如圖，O為等腰三角形ABC內一點，⊙O與ΔABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F兩點。

（1）證明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半徑，且

，求四邊形EBCF的面積。

23．（本小題滿分10分）

選修4 - 4：坐標系與參數方程

在直角坐標系xOy中，曲線C1：

（t為參數，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：

，C3：

。

（1）求C2與C3交點的直角坐標；

（2）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求

的最大值。

24．（本小題滿分10分）

選修4 - 5：不等式選講

設a，b，c，d均為正數，且a + b = c + d，證明：

（1）若ab > cd；則

；

（2）

是

的充要條件。

附：全部試題答案