2015年高考全國卷1理科數學試題及答案解析（word精校版）

注意事項：

1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁。

2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置。

3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。

4.考試結束后，將本試題和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

（1） 設復數z滿足

=i，則|z|=

（A）1 （B）

（C）

（D）2

（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）設命題P：

n

N，

>

，則

P為

（A）

n

N,

>

（B）

n

N,

≤

（C）

n

N,

≤

（D）

n

N,

=

（4）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為

（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312

（5）已知

是雙曲線

上的一點，

是

上的兩個焦點，若

，則

的取值范圍是

（A）（-

，

） （B）（-

，

）

（C）（

，

） （D）（

，

）

（6）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

（7）設D為

ABC所在面內一點

，則

（A）

(B)

（C）

(D)

(8)函數

的部分圖像如圖所示，則

的單調遞減區間為

(A)

(B)

(C)

(D)

（9）執行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

（10）

的展開式中，

的系數為

（A）10 （B）20 （C）30 （D）60

（11）圓柱被一個面截去一部分后與半球(半徑為

)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20

，則

=

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8

12.設函數

,其中

，若存在唯一的整數

，使得

，則

的取值范圍是（ ）

A.

B.

C.

D.

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題~第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答。第（22）題~第（24）題未選考題，考生根據要求作答。

二、填空題：本大題共3小題，每小題5分

（13）若函數

為偶函數，則

（14）一個圓經過橢圓

的三個頂點，且圓心在

軸上，則該圓的標準方程為 。

（15）若

滿足約束條件

則

的最大值為 .

（16）在面四邊形

中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是

三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本小題滿分12分）

為數列

的前

項和.已知

，

（Ⅰ）求

的通項公式：

（Ⅱ）設

,求數列

的前

項和。

（18）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是面ABCD同一側的兩點，BE⊥面ABCD，DF⊥面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）證明：面AEC⊥面AFC

（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值

（19）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對8年的年宣傳費

和年銷售量

數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值。

46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中

，

（Ⅰ）根據散點圖判斷，

與

哪一個適宜作為年銷售量

關于年宣傳費

的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；

（Ⅲ）已知這種產品的年利率z與x、y的關系為

。根據（Ⅱ）的結果回答下列問題：

（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

（?）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？

附：對于一組數據

,其回歸直線

的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

（20）（本小題滿分12分）

在直角坐標系

中，曲線

與直線

交與

兩點，

（Ⅰ）當

時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（Ⅱ）

軸上是否存在點P，使得當

變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。

（21）（本小題滿分12分）

已知函數

(Ⅰ)當a為何值時，x軸為曲線

的切線；

（Ⅱ）用

表示m,n中的最小值，設函數

，討論h（x）零點的個數

請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。

（22）（本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，

是

的直徑，

是

的切線，

交

于

（I） 若D為AC的中點，證明：DE是

的切線；

（II） 若

，求∠ACB的大小.

（23-）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系

中。直線

:

，圓

：

,以坐標原點為極點，

軸的正半軸為極軸建立極坐標系。

（I） 求

，

的極坐標方程；

（II） 若直線

的極坐標方程為

，設

與

的交點為

,

,求

的面積

（24）（本小題滿分10分）選修4?5：不等式選講

已知函數

.

（Ⅰ）當

時，求不等式

的解集；

（Ⅱ）若

的圖像與

軸圍成的三角形面積大于6，求

的取值范圍