有界。正弦函數sinx滿足：對任意實數x，|sinx|≤1。所以，|sin(1/x)|≤1。有界函數并不一定是連續的。根據定義，?在D上有上（下）界，則意味著值域?(D)是一個有上（下）界的數集。

sin1/x有界

|f(x)|=|sin（1/x）|<=1，所以是有界的。

有界函數乘以無窮小=無窮小，所以后面這個函數趨向0。

|xsin(1/x)|<=|x|(因為|sin（1/x）|<=1)，而|x|極限為0，那么前面這個也為0。

什么是有界

若存在兩個常數m和M，使函數y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D 。則稱函數y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

關于函數的有界性．應注意以下兩點：

(1)函數在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；

(2)從幾何學的角度很容易判別一個函數是否有界(見圖2)．如果找不到兩條與x軸行的直線使得函數的圖形介于它們之間，那么函數一定是無界的。