連續的定義

在數學中，連續是函數的一種屬性。直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續的函數（或者說具有不連續性）。

函數連續性的定義：

設函數f(x)在點x0的某個鄰域內有定義,若

lim(x→x0)f(x)=f(x0),

則稱f(x)在點x0處連續。

若函數f(x)在區間I的每一點都連續,則稱f(x)在區間I上連續。

舉例說明：

所有多項式函數都是連續的。各類初等函數，如指數函數、對數函數、方根函數與三角函數在它們的定義域上也是連續的函數。

絕對值函數也是連續的。

定義在非零實數上的倒數函數f= 1/x是連續的。但是如果函數的定義域擴張到全體實數，那么無論函數在零點取任何值，擴張后的函數都不是連續的。

非連續函數的一個例子是分段定義的函數。例如定義f為：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-鄰域使所有f(x)的值在f(0)的ε鄰域內。直覺上我們可以將這種不連續點看做函數值的突然跳躍。

另一個不連續函數的例子為符號函數。