連續(xù)的定義

在數(shù)學(xué)中，連續(xù)是函數(shù)的一種屬性。直觀上來說，連續(xù)的函數(shù)就是當(dāng)輸入值的變化足夠小的時(shí)候，輸出的變化也會(huì)隨之足夠小的函數(shù)。如果輸入值的某種微小的變化會(huì)產(chǎn)生輸出值的一個(gè)突然的跳躍甚至無法定義，則這個(gè)函數(shù)被稱為是不連續(xù)的函數(shù)（或者說具有不連續(xù)性）。

函數(shù)連續(xù)性的定義：

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,若

lim(x→x0)f(x)=f(x0),

則稱f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。

若函數(shù)f(x)在區(qū)間I的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱f(x)在區(qū)間I上連續(xù)。

舉例說明：

所有多項(xiàng)式函數(shù)都是連續(xù)的。各類初等函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、方根函數(shù)與三角函數(shù)在它們的定義域上也是連續(xù)的函數(shù)。

絕對(duì)值函數(shù)也是連續(xù)的。

定義在非零實(shí)數(shù)上的倒數(shù)函數(shù)f= 1/x是連續(xù)的。但是如果函數(shù)的定義域擴(kuò)張到全體實(shí)數(shù)，那么無論函數(shù)在零點(diǎn)取任何值，擴(kuò)張后的函數(shù)都不是連續(xù)的。

非連續(xù)函數(shù)的一個(gè)例子是分段定義的函數(shù)。例如定義f為：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-鄰域使所有f(x)的值在f(0)的ε鄰域內(nèi)。直覺上我們可以將這種不連續(xù)點(diǎn)看做函數(shù)值的突然跳躍。

另一個(gè)不連續(xù)函數(shù)的例子為符號(hào)函數(shù)。